8. На рисунке трапеция ABCD, AD ∥ BC, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°, AD = 30. Дано: ∠ABC = 135°. Найти: BC.

Так как AD ∥ BC, внутренние односторонние углы при секущей AB в сумме равны 180°: ∠DAB = 180° − 135° = 45°.

В треугольнике ABD углы при A и D равны 45°, поэтому AB = BD, а AD — гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника. Следовательно, BD = 30/√2 = 15√2.

Треугольник BCD прямоугольный, ∠BDC = 45°, значит он равнобедренный: BC = CD. Его гипотенуза BD = 15√2, поэтому BC = BD/√2 = 15.

Ответ: BC = 15.