8. Найди значение выражения √16³.

Привет! Давай разберемся с этим корнем и степенью.

У нас есть выражение: \[ \sqrt{16^3} \]

Чтобы его посчитать, можем сделать двумя способами:

1. Сначала возвести 16 в куб, а потом взять корень:
   16³ = 16 * 16 * 16 = 256 * 16 = 4096.
   Теперь берем корень из 4096: \[ \sqrt{4096} \]
   Мы знаем, что 60² = 3600, а 70² = 4900. Значит, корень будет где-то между 60 и 70. Так как число заканчивается на 6, то это может быть 64 (64*64 = 4096).
   \[ \sqrt{4096} = 64 \]
2. Сначала извлечь корень, а потом возвести в степень:
   Мы можем переписать корень как степень 1/2:\[ \sqrt{16^3} = (16^3)^{\frac{1}{2}} \]
   Или использовать свойство корней: \[ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \]
   В нашем случае n=2, m=3, a=16. Значит:\[ \sqrt{16^3} = 16^{\frac{3}{2}} \]
   А теперь вспомним, что \[ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m \]
   Значит, \[ 16^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{16})^3 \]
   Мы знаем, что \[ \sqrt{16} = 4 \]
   Теперь возводим 4 в куб: \[ 4^3 = 4 * 4 * 4 = 16 * 4 = 64 \]

Оба способа дали один и тот же результат!

Ответ: 64