8. Найди значение выражения $$\frac{\sqrt{36x^7} \cdot \sqrt{4y^{10}}}{\sqrt{x^3y^{10}}}}$$ при $$x = \frac{1}{2}$$, $$y = -\frac{1}{3}$$.

Разбираем задание шаг за шагом:

Нам нужно найти значение выражения:

\[ \frac{\sqrt{36x^7} \cdot \sqrt{4y^{10}}}{\sqrt{x^3y^{10}}}} \]

при $$x = \frac{1}{2}$$ и $$y = -\frac{1}{3}$$.

Сначала упростим выражение под корнями:

1. Числитель: $$\sqrt{36x^7} \cdot \sqrt{4y^{10}}} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{x^7} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{y^{10}}} = 6 \cdot x^3 \sqrt{x} \cdot 2 \cdot y^5 = 12 x^3 y^5 \sqrt{x}$$


2. Знаменатель: $$\sqrt{x^3y^{10}}} = \sqrt{x^3} \cdot \sqrt{y^{10}}} = x\sqrt{x} \cdot y^5$$

Теперь поделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{12 x^3 y^5 \sqrt{x}}{x \sqrt{x} y^5} \]

Сокращаем общие множители:

\[ \frac{12 x^3 \cancel{y^5} \cancel{\sqrt{x}}}{x \cancel{\sqrt{x}} \cancel{y^5}} = 12 x^{3-1} = 12x^2 \]

Теперь подставим значение $$x = \frac{1}{2}$$:

\[ 12 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 \]

Значение $$y$$ не повлияло на результат, так как оно сократилось.

Ответ: 3