8. Найди значение выражения \(\sqrt{a^2 - 14ab + 49b^2}\) при \(a = 5\frac{3}{4}\), \(b = \frac{1}{2}\).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем выражение под корнем. Заметим, что \(a^2 - 14ab + 49b^2\) — это полный квадрат разности \((a - 7b)^2\), так как \(a^2\) — квадрат первого члена, \(49b^2 = (7b)^2\) — квадрат второго члена, а \(2 · a · 7b = 14ab\) — удвоенное произведение этих членов.
2. Шаг 2: Теперь выражение под корнем выглядит так: \(\(a - 7b)^2\). Корень из этого выражения равен \(|a - 7b|\) (модуль разности), так как результат извлечения квадратного корня должен быть неотрицательным.
3. Шаг 3: Подставляем заданные значения \(a = 5\frac{3}{4}\) и \(b = \frac{1}{2}\). Сначала переведем \(a\) в неправильную дробь: \(5\frac{3}{4} = \frac{5 · 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}\).
4. Шаг 4: Вычисляем \(7b\): \(7 · \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).
5. Шаг 5: Находим разность \(a - 7b\): \(\frac{23}{4} - \frac{7}{2}\). Приведем к общему знаменателю 4: \(\frac{23}{4} - \frac{7 · 2}{2 · 2} = \frac{23}{4} - \frac{14}{4} = \frac{9}{4}\).
6. Шаг 6: Так как результат \(\frac{9}{4}\) положительный, модуль \(|\frac{9}{4}| = \frac{9}{4}\).
7. Шаг 7: Переведем результат в смешанную дробь: \(\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\).

Ответ: \(2\frac{1}{4}\)