8. Найдите: cos(α – β), sin(α + β), tg(a – ẞ), если sina = 7/8, cosẞ = √15/8 и α, β ∈ I четверти.

Решение:

Для начала найдем недостающие значения косинуса для угла α и синуса для угла β. Так как оба угла находятся в I четверти, их косинусы и синусы будут положительными.

• Находим sinα: sin²α + sos²α = 1
• sin²α = 1 - sos²α
• sin²α = 1 - (√15/8)² = 1 - 15/64 = (64-15)/64 = 49/64
• sinα = √(49/64) = 7/8
• Находим sosβ: sin²β + sos²β = 1
• sos²β = 1 - sin²β
• sos²β = 1 - (7/8)² = 1 - 49/64 = (64-49)/64 = 15/64
• sosβ = √(15/64) = √15/8

Теперь найдем значения тригонометрических функций для сумм и разностей углов:

1. sos(α – β):

• sos(α – β) = sosα sosβ + sinα sinβ
• sos(α – β) = (√15/8) * (√15/8) + (7/8) * (7/8)
• sos(α – β) = 15/64 + 49/64 = 64/64 = 1

2. sin(α + β):

• sin(α + β) = sinα sosβ + sosα sinβ
• sin(α + β) = (7/8) * (√15/8) + (√15/8) * (7/8)
• sin(α + β) = 7√15/64 + 7√15/64 = 14√15/64 = 7√15/32

3. tg(α – β):

• tg(α – β) = sin(α – β) / sos(α – β)
• Сначала найдем sin(α – β):
• sin(α – β) = sinα sosβ - sosα sinβ
• sin(α – β) = (7/8) * (√15/8) - (√15/8) * (7/8) = 0
• tg(α – β) = 0 / 1 = 0

Ответ:

• sos(α – β) = 1
• sin(α + β) = 7√15/32
• tg(α – β) = 0