8. Найдите интеграл и проверьте результат дифференцированием

Решение:

Для нахождения интеграла от \( x^{\frac{2}{3}} \) используем формулу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), где \( n \neq -1 \).

1. Применим формулу: \( \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C \)
2. Упростим показатель степени и знаменатель: \( \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3} \).
3. Получаем: \( \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C \)
4. Перевернём дробь в знаменателе: \( \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C \).

Проверка дифференцированием:

Возьмём производную от полученного результата:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C \right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{d}{dx} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{dx}(C) \]

Используя правило дифференцирования степенной функции \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \) и производную константы \( \frac{d}{dx} C = 0 \):

\[ \frac{3}{5} \cdot \left( \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3}-1} \right) + 0 = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} \]

Результат дифференцирования совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: \( \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C \).