8. Найдите корень уравнения log₅ 25ˣ⁻³ = 6

Решение:

1. Для начала вспомним определение логарифма: \( в ыражение без логарифма в степени с основанием получившееся в результате равен подставленному числу \). То есть, \( выражение = основание^{показатель} \).
2. Применим это к нашему уравнению: \( 25^{x-3} = 5^6 \).
3. Теперь приведем обе части уравнения к одному основанию. Мы знаем, что \( 25 = 5^2 \). Подставим это: \( (5^2)^{x-3} = 5^6 \).
4. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m · n} \): \( 5^{2(x-3)} = 5^6 \).
5. Упростим показатель степени в левой части: \( 5^{2x-6} = 5^6 \).
6. Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: \( 2x-6 = 6 \).
7. Решим получившееся линейное уравнение: \( 2x = 6 + 6 \)
8. \( 2x = 12 \)
9. \( x = \frac{12}{2} \)
10. \( x = 6 \)

Ответ: 6