8. Найдите корень уравнения \( \sqrt{\frac{3}{5x-30}} = \frac{1}{5} \)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ \left( \sqrt{\frac{3}{5x-30}} \right)^2 = \left( \frac{1}{5} \right)^2 \] \[ \frac{3}{5x-30} = \frac{1}{25} \]
2. Приравняем крест-накрест: \[ 3 \cdot 25 = 1 \cdot (5x-30) \] \[ 75 = 5x - 30 \]
3. Решим полученное линейное уравнение:
• Прибавим 30 к обеим частям: \( 75 + 30 = 5x \) \( 105 = 5x \)
• Разделим обе части на 5: \( x = \frac{105}{5} \) \( x = 21 \)
4. Проверим условие существования корня: знаменатель \( 5x-30 \) не должен быть равен нулю.
• При \( x = 21 \), \( 5 \cdot 21 - 30 = 105 - 30 = 75 \), что не равно нулю.
• Кроме того, под корнем должно быть неотрицательное число: \( \frac{3}{5x-30} \ge 0 \). Так как числитель 3 положительный, то и знаменатель \( 5x-30 \) должен быть положительным. \( 5x-30 > 0 \), \( 5x > 30 \), \( x > 6 \). Наше значение \( x = 21 \) удовлетворяет этому условию.

Ответ: 21