8. Найдите наименьшее значение функции y = x³ + 3x² - 30x + 3 на отрезке [0; 4]

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно:

1. Найти производную функции:
• \( y' = (x^3 + 3x^2 - 30x + 3)' = 3x^2 + 6x - 30 \).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю:
• \( 3x^2 + 6x - 30 = 0 \)
• Разделим на 3: \( x^2 + 2x - 10 = 0 \)
• Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44 \)
• \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -1 \pm \sqrt{11} \)
• \( x_1 = -1 + \sqrt{11} \approx -1 + 3.31 = 2.31 \)
• \( x_2 = -1 - \sqrt{11} \approx -1 - 3.31 = -4.31 \)
• Критическая точка \( x_1 = -1 + \sqrt{11} \) попадает в отрезок \( [0; 4] \), а \( x_2 \) — нет.
3. Вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка:
• \( y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 30 \cdot 0 + 3 = 3 \)
• \( y(-1 + \sqrt{11}) = (-1 + \sqrt{11})^3 + 3(-1 + \sqrt{11})^2 - 30(-1 + \sqrt{11}) + 3 \)
• Проще оценить значение. Так как \( x ≈ 2.31 \) — это точка минимума (производная меняет знак с минуса на плюс), значение функции будет меньше, чем на концах.
• \( y(4) = 4^3 + 3 \cdot 4^2 - 30 \cdot 4 + 3 = 64 + 3 \cdot 16 - 120 + 3 = 64 + 48 - 120 + 3 = 112 - 120 + 3 = -8 + 3 = -5 \)
4. Сравнить полученные значения: \( 3 \), \( y(-1 + \sqrt{11}) \) (предположительно меньше -5), \( -5 \).

Наименьшее значение функции достигается на границе отрезка.

Ответ: -5