8. Найдите неизвестные углы треугольников (рис. 16, а–в) и неизвестные стороны треугольников (рис. 16, г–е).

а) Углы треугольника в сумме равны 180°. По отметкам на рисунке углы β и α соответственно равны углам с одной и двумя дугами; сторона 2 лежит напротив α, а сторона 1 + √3 — напротив β. По теореме синусов: sin β / sin α = (1 + √3) / 2. Так как β = 120° − α, получаем sin(120° − α) = ((1 + √3) / 2) sin α. Отсюда α = 30°, β = 90°.

б) По теореме синусов: sin β / (1 + √3) = sin 30° / 2, поэтому sin β = (1 + √3) / 4. Следовательно, β ≈ 40,5°. Тогда α = 180° − 30° − β ≈ 109,5°. По рисунку β — острый угол.

в) По теореме синусов: sin α / √2 = sin 45° / 2, откуда sin α = 1/2. По рисунку α острый, поэтому α = 30°. Тогда β = 180° − 30° − 45° = 105°.

г) По теореме косинусов для стороны 14, противоположной углу 120°: 14² = x² + 6² − 2 · x · 6 · cos 120°. Поскольку cos 120° = −1/2, получаем 196 = x² + 36 + 6x, то есть x² + 6x − 160 = 0. Корни: 10 и −16; длина положительна, значит x = 10.

д) По теореме косинусов: 5² = x² + (√12)² − 2 · x · √12 · cos 135°. Так как cos 135° = −√2/2, имеем 25 = x² + 12 + 4√6 · x. Следовательно, x² + 4√6 · x − 13 = 0. Положительный корень: x = √37 − 2√6 ≈ 1,10.

е) Сторона √3 лежит напротив угла, равного 30°. По теореме косинусов: (√3)² = (2x)² + (7x)² − 2 · 2x · 7x · cos 30°. Поэтому 3 = 53x² − 14√3 · x² = (53 − 14√3)x². Так как x — длина, x = √(3 / (53 − 14√3)) ≈ 0,376.

Ответ: а) α = 30°, β = 90°; б) β ≈ 40,5°, α ≈ 109,5°; в) α = 30°, β = 105°; г) x = 10; д) x = √37 − 2√6; е) x = √(3 / (53 − 14√3)).