8. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x²-6x+10, прямыми х = -1, x= 3 и осью абсцисс.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 - 6x + 10 \), прямыми \( x = -1 \) и \( x = 3 \), и осью абсцисс, нужно вычислить определённый интеграл от функции на заданном интервале.

Сначала найдём корни уравнения \( f(x) = 0 \), чтобы определить, пересекает ли график ось абсцисс на интервале \( [-1, 3] \).

\( x^2 - 6x + 10 = 0 \)
Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 \).

Так как \( D < 0 \), график функции не пересекает ось абсцисс. Поскольку коэффициент при \( x^2 \) положительный (1), ветви параболы направлены вверх, значит, функция \( f(x) \) всегда положительна.

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 6x + 10) dx \]

Найдём первообразную функции \( f(x) \):

\[ F(x) = \int (x^2 - 6x + 10) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 10x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = F(3) - F(-1) \]

Вычислим \( F(3) \):

\[ F(3) = \frac{3^3}{3} - 3 \cdot 3^2 + 10 \cdot 3 = \frac{27}{3} - 3 \cdot 9 + 30 = 9 - 27 + 30 = 12 \]

Вычислим \( F(-1) \):

\[ F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 3 \cdot (-1)^2 + 10 \cdot (-1) = \frac{-1}{3} - 3 \cdot 1 - 10 = -\frac{1}{3} - 3 - 10 = -13 - \frac{1}{3} = -\frac{39}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{40}{3} \]

Теперь найдём площадь:

\[ S = 12 - \left(-\frac{40}{3}\right) = 12 + \frac{40}{3} = \frac{36}{3} + \frac{40}{3} = \frac{76}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{76}{3} \) квадратных единиц.