8. Найдите все корни уравнения log3 (3-x)+log3 (4-x)=1+2log3 2.

Решение:

Дано уравнение: \( \log_3 (3-x) + \log_3 (4-x) = 1 + 2\log_3 2 \).

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):
   Для логарифмов аргументы должны быть положительными:
   \( 3-x > 0 \Rightarrow x < 3 \)
   \( 4-x > 0 \Rightarrow x < 4 \)
   Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x < 3 \).
2. Упростим уравнение, используя свойства логарифмов:
   Сумма логарифмов равна логарифму произведения: \( \log_3 ((3-x)(4-x)) = 1 + \log_3 (2^2) \)
   \( \log_3 ((3-x)(4-x)) = 1 + \log_3 4 \)
   Представим 1 как \( \log_3 3 \):
   \( \log_3 ((3-x)(4-x)) = \log_3 3 + \log_3 4 \)
   \( \log_3 ((3-x)(4-x)) = \log_3 (3 · 4) \)
   \( \log_3 ((3-x)(4-x)) = \log_3 12 \)
3. Приравняем аргументы логарифмов:
   \( (3-x)(4-x) = 12 \)
   Раскроем скобки:
   \( 12 - 3x - 4x + x^2 = 12 \)
   \( x^2 - 7x + 12 = 12 \)
   \( x^2 - 7x = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение:
   Вынесем \( x \) за скобки:
   \( x(x - 7) = 0 \)
   Отсюда получаем два возможных корня:
   \( x_1 = 0 \)
   \( x_2 = 7 \)
5. Проверим корни на соответствие ОДЗ:
   \( x < 3 \)
   Для \( x_1 = 0 \): \( 0 < 3 \) — верно. Корень подходит.
   Для \( x_2 = 7 \): \( 7 < 3 \) — неверно. Корень не подходит.

Ответ: x = 0.