8. Найдите все решения неравенства $$3\log_{0.5}^2 x - 4\log_{0.5} x + 1 \le 0$$.

Решение:

Обозначим \( y = \log_{0.5} x \). Тогда исходное неравенство примет вид:

\[ 3y^2 - 4y + 1 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 3y^2 - 4y + 1 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \).

Корни:

\[ y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, неравенство \( 3y^2 - 4y + 1 \le 0 \) выполняется при \( \frac{1}{3} \le y \le 1 \).

Теперь вернемся к замене \( y = \log_{0.5} x \):

\[ \frac{1}{3} \le \log_{0.5} x \le 1 \]

Поскольку основание логарифма \( 0.5 \) меньше 1, при раскрытии логарифмов знаки неравенства меняются на противоположные:

\[ (0.5)^{1} \le x \le (0.5)^{1/3} \]

\[ \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \]

Проверка ОДЗ: \( x > 0 \). Полученный интервал удовлетворяет этому условию.

Ответ: \( \left[ \frac{1}{2}; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right] \).