8. Найдите все решения неравенства 4log₃² x - 5log₃ x + 1 ≤ 0.

Решение:

Обозначим \( y = \log_3 x \). Тогда исходное неравенство примет вид:

\[ 4y^2 - 5y + 1 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 4y^2 - 5y + 1 = 0 \):

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \]

\[ y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8} \]

\[ y_1 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

\[ y_2 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

Таким образом, неравенство \( 4y^2 - 5y + 1 \le 0 \) выполняется при \( \frac{1}{4} \le y \le 1 \).

Вернемся к замене \( y = \log_3 x \):

\[ \frac{1}{4} \le \log_3 x \le 1 \]

Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), логарифмическая функция возрастает. Применим преобразование:

\[ \log_3 (3^{1/4}) \le \log_3 x \le \log_3 (3^1) \]

Получаем:

\[ 3^{1/4} \le x \le 3^1 \]

Вычислим \( 3^{1/4} \): \( 3^{1/4} = \sqrt[4]{3} \).

Таким образом, решением неравенства является интервал \( [\sqrt[4]{3}; 3] \).

Ответ: \( [\sqrt[4]{3}; 3] \).