8. Найдите значение выражения. $$\\frac{1}{10x} = 5x + 10$$ Корень уравнения.

Решение:

Для нахождения корня уравнения необходимо решить следующее уравнение:

\[ \frac{1}{10x} = 5x + 10 \]

1. Умножим обе части уравнения на 10x, чтобы избавиться от знаменателя (при условии, что x ≠ 0):

\[ 1 = (5x + 10) \cdot 10x \]

2. Раскроем скобки:

\[ 1 = 50x^2 + 100x \]

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 50x^2 + 100x - 1 = 0 \]

4. Теперь решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

\[ a = 50, \quad b = 100, \quad c = -1 \]

\[ D = 100^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-1) = 10000 + 200 = 10200 \]

5. Найдем корни уравнения по формуле: x = ⁡⁰\\pm\\sqrt{D}⁡ / 2a

\[ x_1 = \frac{-100 + \sqrt{10200}}{2 \cdot 50} = \frac{-100 + \sqrt{100 \cdot 102}}{100} = \frac{-100 + 10\sqrt{102}}{100} = \frac{-10 + \sqrt{102}}{10} \]

\[ x_2 = \frac{-100 - \sqrt{10200}}{2 \cdot 50} = \frac{-100 - 10\sqrt{102}}{100} = \frac{-10 - \sqrt{102}}{10} \]

6. Проверим, что найденные корни не равны нулю. Очевидно, что оба корня не равны нулю.

Ответ: Корнями уравнения являются \( x_1 = \frac{-10 + \sqrt{102}}{10} \) и \( x_2 = \frac{-10 - \sqrt{102}}{10} \).