Контрольные задания
Вопрос:

8. Найдите значение выражения \( \frac{1}{3+\sqrt{7}} - \frac{1}{3-\sqrt{7}} \)

Фото задания: 8. Найдите значение выражения \( \frac{1}{3+\sqrt{7}} - \frac{1}{3-\sqrt{7}} \)Фото задания

Ответ:

Решение:

Для нахождения значения выражения приведем дроби к общему знаменателю:

  1. Общий знаменатель будет \( (3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) \).
  2. Применим формулу разности квадратов: \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \). В нашем случае \( 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2 \).
  3. Преобразуем числитель первой дроби: \( 1 \times (3-\sqrt{7}) = 3-\sqrt{7} \).
  4. Преобразуем числитель второй дроби: \( 1 \times (3+\sqrt{7}) = 3+\sqrt{7} \).
  5. Теперь подставим преобразованные числители и знаменатель в исходное выражение:
\[ \frac{3-\sqrt{7}}{2} - \frac{3+\sqrt{7}}{2} = \frac{(3-\sqrt{7}) - (3+\sqrt{7})}{2} \]
\[ = \frac{3-\sqrt{7} - 3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{-2\sqrt{7}}{2} = -\sqrt{7} \]

Ответ: -\(\sqrt{7}\)