8. Найдите значение выражения $$\frac{1}{7+\sqrt{47}} + \frac{1}{7-\sqrt{47}}$$

Решение:

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю, который равен произведению знаменателей:

Общий знаменатель: \( (7+\sqrt{47})(7-\sqrt{47}) \). Это разность квадратов, поэтому \( (7+\sqrt{47})(7-\sqrt{47}) = 7^2 - (\sqrt{47})^2 = 49 - 47 = 2 \).

Приведём первую дробь к общему знаменателю:

\( \frac{1}{7+\sqrt{47}} = \frac{1 \cdot (7-\sqrt{47})}{(7+\sqrt{47})(7-\sqrt{47})} = \frac{7-\sqrt{47}}{2} \).

Приведём вторую дробь к общему знаменателю:

\( \frac{1}{7-\sqrt{47}} = \frac{1 \cdot (7+\sqrt{47})}{(7-\sqrt{47})(7+\sqrt{47})} = \frac{7+\sqrt{47}}{2} \).

Сложим полученные дроби:

\( \frac{7-\sqrt{47}}{2} + \frac{7+\sqrt{47}}{2} = \frac{(7-\sqrt{47}) + (7+\sqrt{47})}{2} = \frac{7-\sqrt{47}+7+\sqrt{47}}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

Ответ: 7