8. Найдите значение выражения: \(\frac{12^8}{4^6 \cdot 3^6}\)

Решение:

Чтобы найти значение выражения \(\frac{12^8}{4^6 \cdot 3^6}\), преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства степеней.

1. Разложим основание степени в числителе на множители: \( 12 = 4 \cdot 3 \).
2. Применим свойство степени \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) к числителю: \( 12^8 = (4 \cdot 3)^8 = 4^8 \cdot 3^8 \).
3. Теперь выражение имеет вид: \(\frac{4^8 \cdot 3^8}{4^6 \cdot 3^6}\).
4. Применим свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) для одинаковых оснований:
• \( \frac{4^8}{4^6} = 4^{8-6} = 4^2 \)
• \( \frac{3^8}{3^6} = 3^{8-6} = 3^2 \)
5. Перемножим полученные результаты: \( 4^2 \cdot 3^2 \).
6. Применим свойство степени \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \): \( 4^2 \cdot 3^2 = (4 \cdot 3)^2 = 12^2 \).
7. Вычислим окончательное значение: \( 12^2 = 144 \).

Ответ: 144