8. Найдите значение выражения \(\frac{5^{7} \cdot 9^{9}}{45^{7}}\).

Решение:

Чтобы найти значение выражения, представим все числа в виде простых множителей:

\( 45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2 \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{5^{7} \cdot 9^{9}}{45^{7}} = \frac{5^{7} \cdot (3^2)^{9}}{(5 \cdot 3^2)^{7}} \]

Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \):

\[ \frac{5^{7} \cdot 3^{18}}{5^{7} \cdot (3^2)^{7}} = \frac{5^{7} \cdot 3^{18}}{5^{7} \cdot 3^{14}} \]

Сократим одинаковые основания:

\[ \frac{\cancel{5^{7}} \cdot 3^{18}}{\cancel{5^{7}} \cdot 3^{14}} = \frac{3^{18}}{3^{14}} \]

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 3^{18-14} = 3^4 \]

Вычислим значение \( 3^4 \):

\[ 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81 \]

Ответ: 81