8. Найдите значение выражения \(\frac{a^{17} \cdot (b^5)^3}{(a \cdot b)^{15}}\), при \(a = 7\) и \(b = \sqrt{7}\).

Краткое пояснение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней, а затем подставим заданные значения переменных.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем числитель выражения, используя свойство \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\) и \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\):
   • \((b^5)^3 = b^{5 \cdot 3} = b^{15}\)
   • \(a^{17} \cdot b^{15}\)
2. Шаг 2: Упрощаем знаменатель выражения, используя свойство \((x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n\):
   • \((a \cdot b)^{15} = a^{15} \cdot b^{15}\)
3. Шаг 3: Подставляем упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:
   • \(\frac{a^{17} \cdot b^{15}}{a^{15} \cdot b^{15}}\).
4. Шаг 4: Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (\(b^{15}\)):
   • \(\frac{a^{17}}{a^{15}}\).
5. Шаг 5: Упрощаем оставшееся выражение, используя свойство \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\):
   • \(a^{17-15} = a^2\).
6. Шаг 6: Подставляем заданное значение \(a = 7\) в упрощенное выражение:
   • \(7^2\).
7. Шаг 7: Вычисляем окончательное значение:
   • \(7^2 = 49\).

Ответ: 49