8. Найдите значение выражения \(\frac{a^{23} \cdot (b^{5})^{4}}{(a \cdot b)^{20}}\), при \(a = 2\) и \(b = \sqrt{2}\).

Краткое пояснение:

Для решения этого задания необходимо упростить алгебраическое выражение, используя свойства степеней, а затем подставить заданные значения переменных.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем выражение, используя свойства степеней \((x^m)^n = x^{m }\) и \((xy)^n = x^n y^n\):
   \(\frac{a^{23} cdot b^{5 4}}{(a b)^{20}} = rac{a^{23} cdot b^{20}}{a^{20} b^{20}}\).
2. Шаг 2: Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе, используя свойство \( rac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\):
   \(a^{23-20} b^{20-20} = a^3 b^0 = a^3 1 = a^3\).
3. Шаг 3: Подставляем заданные значения \(a = 2\) и \(b = \sqrt{2}\):
   \(a^3 = 2^3 = 8\).

Ответ: 8