8. Найдите значение выражения $$ \frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{12}} \cdot n^{\frac{1}{4}}} $$ при n = 64.

Краткое пояснение:

Чтобы найти значение выражения, нужно упростить его, используя свойства степеней, а затем подставить данное значение n.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощение выражения.
   Используем свойство степеней: a^m \cdot a^n = a^{m+n} для знаменателя.
   $$ n^{\frac{1}{12}} \cdot n^{\frac{1}{4}} = n^{\frac{1}{12} + \frac{1}{4}} = n^{\frac{1}{12} + \frac{3}{12}} = n^{\frac{4}{12}} = n^{\frac{1}{3}} $$
   Теперь выражение выглядит так:
   $$ \frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{3}}} $$
2. Шаг 2: Продолжаем упрощение.
   Используем свойство степеней: a^m / a^n = a^{m-n}.
   $$ n^{\frac{5}{6}} / n^{\frac{1}{3}} = n^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = n^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = n^{\frac{3}{6}} = n^{\frac{1}{2}} $$
3. Шаг 3: Подстановка значения n.
   Нам дано, что n = 64. Подставляем это значение в упрощенное выражение: n^{\frac{1}{2}}.
   $$ 64^{\frac{1}{2}} $$
4. Шаг 4: Вычисление.
   n^{\frac{1}{2}} означает квадратный корень из n.
   $$ \sqrt{64} = 8 $$

Ответ: 8