8. Найдите значение выражения \(\sqrt{25a^2+10ab+b^2}\) при \(a=3\frac{2}{7}\), \(b=\frac{4}{7}\).

Решение:

Выражение под корнем представляет собой полный квадрат:

\(25a^2+10ab+b^2 = (5a+b)^2\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\(\sqrt{25a^2+10ab+b^2} = \sqrt{(5a+b)^2} = |5a+b|\)

Дано \(a=3\frac{2}{7}\) и \(b=\frac{4}{7}\).

Переведём смешанное число в неправильную дробь:

\(a = 3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{21+2}{7} = \frac{23}{7}\)

Теперь вычислим \(5a+b\):

\[ 5a+b = 5 \cdot \frac{23}{7} + \frac{4}{7} = \frac{5 \cdot 23}{7} + \frac{4}{7} = \frac{115}{7} + \frac{4}{7} = \frac{115+4}{7} = \frac{119}{7} \]

Разделим 119 на 7:

\[ \frac{119}{7} = 17 \]

Так как \(5a+b = 17\) (положительное число), то \(|5a+b| = 17\).

Ответ: 17