8. Найдите значение выражения $$\sqrt{54 \cdot 62 \cdot 132}$$.

Решение:

Для вычисления значения выражения $$\sqrt{54 \cdot 62 \cdot 132}$$ разложим числа на простые множители:

1. $$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$$
2. $$62 = 2 \cdot 31$$
3. $$132 = 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$$

Теперь подставим разложения в выражение под корнем:

$$54 \cdot 62 \cdot 132 = (2 \cdot 3^3) \cdot (2 \cdot 31) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 11) = 2^{1+1+2} \cdot 3^{3+1} \cdot 11 \cdot 31 = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 11 \cdot 31$$

Извлечём квадратный корень:

$$\sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 11 \cdot 31} = \sqrt{(2^2)^2 \cdot (3^2)^2 \cdot 11 \cdot 31} = 2^2 \cdot 3^2 \sqrt{11 \cdot 31} = 4 \cdot 9 \sqrt{341} = 36\sqrt{341}$$

Примечание: В задании, вероятно, допущена опечатка, так как числа 54, 62, 132 не образуют полный квадрат. Если бы, например, вместо 62 было 33, то получилось бы $$\sqrt{54 \cdot 33 \cdot 132} = \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (3 \cdot 11) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 11)} = \sqrt{2^3 \cdot 3^5 \cdot 11^2}$$. Этот пример также не даёт точного значения. Если предположить, что числа под корнем таковы, что они образуют полный квадрат, то для их вычисления нужно было бы искать пары множителей. Без точных значений, которые образуют полный квадрат, выражение остаётся в виде $$36\sqrt{341}$$.

Ответ: $$36\sqrt{341}$$.