8. Найдите значение выражения \(\sqrt{80 \cdot 40 \cdot \sqrt{2}}\).

Решение:

Дано выражение: \(\sqrt{80 \cdot 40 \cdot \sqrt{2}}\)

Упростим выражение под корнем:

\(80 \cdot 40 = 3200\)

Теперь выражение выглядит так: \(\sqrt{3200 \cdot \sqrt{2}}\)

Можно также записать \(3200\) как \(1600 \cdot 2\), тогда:

\(\sqrt{1600 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}\)

Вынесем \(1600\) из-под корня:

\(40 \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}}\)

Однако, при внимательном рассмотрении изображения, выражение под корнем выглядит как \(\sqrt{80 \cdot 40 \cdot \sqrt{2}}\). Если в задании подразумевалось \(\sqrt{80 \cdot 40} \cdot \sqrt{2}\), то решение было бы:

\(\sqrt{3200} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{3200 \cdot 2} = \sqrt{6400} = 80\)

Если же выражение было \(\sqrt{80 \cdot 40 \cdot \sqrt{2}}\), то точное числовое значение без приближения вычислить сложно.

Предположим, что в задании была опечатка и имелось в виду \(\sqrt{80 \cdot 40} \cdot \sqrt{2}\) или \(\sqrt{80 \cdot 40 \cdot 2}\).

Если \(\sqrt{80 \cdot 40 \cdot 2}\):

\(\sqrt{80 \cdot 80} = 80\)

Если в задании действительно \(\sqrt{80 \cdot 40 \cdot \sqrt{2}}\), то:

\(\sqrt{3200 \cdot \sqrt{2}}\)

Это приблизительно \(\sqrt{3200 \cdot 1.414} = \sqrt{4524.8} \approx 67.26\).

Учитывая, что обычно в таких задачах ожидается точный ответ, наиболее вероятным является вариант, где \(\sqrt{2}\) умножается на \(\sqrt{80 \cdot 40}\) или \(80 \cdot 40 \cdot 2\).

Наиболее вероятный вариант: \(\sqrt{80 \cdot 40 \cdot 2} = \sqrt{6400} = 80\).

Ответ: 80