8. Найдите значение выражения \( \sqrt{\frac{64a^{20}}{a^{18}}} \) при \( a=5 \).

Краткое пояснение:

Для решения этого задания необходимо упростить выражение под корнем, используя свойства степеней, а затем подставить значение переменной \( a \) и вычислить результат.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем выражение под корнем, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ( \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \) ): \( \frac{64a^{20}}{a^{18}} = 64a^{20-18} = 64a^2 \).
2. Шаг 2: Теперь выражение под корнем выглядит так: \( \sqrt{64a^2} \).
3. Шаг 3: Извлекаем квадратный корень из полученного выражения, используя правило \( \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y} \) и \( \sqrt{x^2} = |x| \): \( \sqrt{64a^2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a^2} = 8|a| \).
4. Шаг 4: По условию \( a=5 \). Так как \( a \) положительное число, \( |a| = a \). Поэтому \( 8|a| = 8a \).
5. Шаг 5: Подставляем значение \( a=5 \) в упрощенное выражение: \( 8 \cdot 5 = 40 \).

Ответ: 40