8) Найти неопределенный интеграл: a) \(\int \frac{x^4-6x^3-8x^2+9x-5}{x^2} dx;\) b) \(\int (x^3-54) dx\)

Решение:

Задание 8а

Для нахождения интеграла сначала разделим числитель на знаменатель:

\( \frac{x^4-6x^3-8x^2+9x-5}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} - \frac{6x^3}{x^2} - \frac{8x^2}{x^2} + \frac{9x}{x^2} - \frac{5}{x^2} = x^2 - 6x - 8 + \frac{9}{x} - 5x^{-2} \)

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

\[ \int (x^2 - 6x - 8 + \frac{9}{x} - 5x^{-2}) dx = \int x^2 dx - 6\int x dx - 8\int dx + 9\int \frac{1}{x} dx - 5\int x^{-2} dx \]

Используя стандартные формулы интегрирования:

\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]

\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \]

Получаем:

\[ \frac{x^{2+1}}{2+1} - 6\frac{x^{1+1}}{1+1} - 8x + 9\ln|x| - 5\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} - 8x + 9\ln|x| - 5\frac{x^{-1}}{-1} + C \]

Упрощаем:

\[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x + 9\ln|x| + 5x^{-1} + C = \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x + \frac{5}{x} + 9\ln|x| + C \]

Задание 8б

Проинтегрируем выражение:

\[ \int (x^3 - 54) dx = \int x^3 dx - \int 54 dx \]

Используя формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int C dx = Cx + C \):

\[ \frac{x^{3+1}}{3+1} - 54x + C = \frac{x^4}{4} - 54x + C \]

Ответ: а) \( \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 8x + \frac{5}{x} + 9\ln|x| + C \); б) \( \frac{x^4}{4} - 54x + C \).