№ 8. Назовём суммой подмножеств числа сумму всех чисел, получаемых из исходного числа вычёркиванием некоторых цифр, а также изначального числа. Например, для числа 123 сумма подмножеств равна 123 + 12 + 23 + 13 + 1 + 2 + 3 = 177, а для числа 122 — 122 + 12 + 22 + 12 + 1 + 2 + 2 = 173. Сколько разных значений принимает сумма подмножеств для чисел из промежутка от 704 до 778 включительно?

Пусть число имеет вид \(7bc\), где \(b\) и \(c\) — цифры. Его сумма подмножеств равна сумме исходного числа, трёх чисел из двух цифр и трёх отдельных цифр:

\(100\cdot 7+10b+c+(70+b)+(70+c)+(10b+c)+7+b+c=847+22b+4c.\)

Если \(b\) чётное, получаем значения, сравнимые с 3 по модулю 4; если нечётное — сравнимые с 1 по модулю 4. Значения двух групп не могут совпасть.

При фиксированной чётности цифры \(b\), переход к следующей цифре \(b\) той же чётности увеличивает слагаемое \(22b\) на 44. При этом изменение \(c\) может дать разницу не более 36, поэтому значения для разных таких цифр \(b\) тоже не совпадают.

Значит, все числа от 704 до 778 дают разные суммы подмножеств. В этом промежутке \(778-704+1=75\) чисел.

Ответ: 75.