8. Определите число решений системы уравнений \(\begin{cases}x^2+y^2=9,\\ y=-x^2+6.\end{cases}\)

Подставим \(y=6-x^2\) в первое уравнение:

\[x^2+(6-x^2)^2=9.\]

Раскроем скобки и приведём подобные:

\[x^4-11x^2+27=0.\]

Положим \(t=x^2\), где \(t\ge 0\). Получим \(t^2-11t+27=0\), откуда \(t=\frac{11\pm\sqrt{13}}{2}\). Оба значения положительны, поэтому каждому соответствуют два значения \(x=\pm\sqrt{t}\). Для каждого значения \(x\) уравнение \(y=6-x^2\) задаёт ровно одно значение \(y\).

Итак, система имеет четыре различные пары решений.

Ответ: 4 решения.