8. Основание треугольника равно 1. Найдите длину отрезка, соединяющего середины двух его медиан, проведённых к боковым сторонам.

Обозначим треугольник через \(ABC\), где \(AB=1\) — основание. Проведём медианы \(AD\) и \(BE\) к боковым сторонам: точки \(D\) и \(E\) — середины сторон \(BC\) и \(AC\). Пусть \(P\) и \(Q\) — середины медиан \(AD\) и \(BE\).

Возьмём \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), а координаты вершины \(C\) обозначим \((x,y)\). Тогда

\(P=\left(\frac{1+x}{4},\frac{y}{4}\right),\quad Q=\left(\frac{x+2}{4},\frac{y}{4}\right).\)

У точек \(P\) и \(Q\) одинаковые координаты по вертикали, а разность горизонтальных координат равна \(\frac{x+2}{4}-\frac{1+x}{4}=\frac14\). Поэтому \(PQ=\frac14\), независимо от формы треугольника.

Ответ: \(\frac14\).