8.* Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, AB = AA₁. а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны. б) Найдите объем призмы, если A₁C = BD = 2.

Решение:

а) Доказательство перпендикулярности прямых A₁C и BD

1. Свойства ромба:

• Диагонали ромба перпендикулярны: \( AC ⊥ BD \).
• Диагонали ромба пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• Все стороны ромба равны: \( AB = BC = CD = DA \).

2. Свойства прямой призмы:

• Боковые ребра перпендикулярны основаниям: \( AA_1 ⊥ ABCD \) и \( CC_1 ⊥ ABCD \).
• Боковые грани — прямоугольники.

3. Доказательство:

Рассмотрим диагональ \( AC \) основания. Так как \( AA_1 ⊥ ABCD \), то \( AA_1 ⊥ AC \).

Рассмотрим грань \( AA_1C_1C \). Это прямоугольник, так как призма прямая. Диагонали прямоугольника равны \( AC = A_1C_1 \) и пересекаются в одной точке.

Рассмотрим диагональ \( BD \) основания. Так как \( AC ⊥ BD \) (свойство ромба), то \( BD ⊥ AC \).

Теперь рассмотрим прямую \( A_1C \) и плоскость основания \( ABCD \).

Так как \( AA_1 \) — боковое ребро, то \( AA_1 ⊥ BD \) (так как \( BD \) лежит в плоскости основания, перпендикулярной \( AA_1 \)).

Также, \( AC ⊥ BD \) (свойство ромба).

Прямая \( BD \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( AA_1 \) и \( AC \) в плоскости \( AA_1C_1C \).

Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, \( BD ⊥ AA_1C_1C \).

Поскольку прямая \( A_1C \) лежит в плоскости \( AA_1C_1C \), то \( BD ⊥ A_1C \).

Что и требовалось доказать.

б) Нахождение объема призмы

Объем прямой призмы вычисляется по формуле: \( V = S_{осн} × h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота призмы.

1. Площадь основания (ромба):

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \( S_{осн} = \frac{1}{2} × d_1 × d_2 \).

По условию, \( A_1C = BD = 2 \). Поскольку \( ABCD \) — основание, то \( AC = 2 \) и \( BD = 2 \) (диагонали ромба равны).

\( S_{осн} = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2 \) кв. ед.

2. Высота призмы:

По условию, \( AB = AA_1 \). Это означает, что длина стороны ромба равна высоте призмы.

В ромбе \( ABCD \) диагонали \( AC = 2 \) и \( BD = 2 \) пересекаются в точке \( O \). Треугольник \( AOB \) — прямоугольный. Его катеты равны половине диагоналей: \( AO = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) и \( BO = \frac{BD}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

По теореме Пифагора найдем сторону ромба \( AB \): \( AB^2 = AO^2 + BO^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 \).

Значит, \( AB = √{2} \).

По условию, высота призмы \( h = AA_1 = AB = √{2} \).

3. Объем призмы:

\( V = S_{осн} × h = 2 × √{2} = 2√{2} \) куб. ед.

Ответ: а) Доказано. б) \( 2√{2} \) куб. ед.