8. Основания трапеции равны 4 и 5, а одна её боковая сторона равна 3. Какую длину может иметь вторая боковая сторона трапеции, если она целое число?

Пусть высота трапеции равна h, а горизонтальная проекция боковой стороны длиной 3 равна p. Разность оснований равна 1, поэтому горизонтальная проекция второй боковой стороны равна 1 − p (знак учитывает направление проекции).

Из прямоугольного треугольника для первой боковой стороны: \(h^2+p^2=9\). Если длина второй стороны равна d, то \(d^2=h^2+(1-p)^2=9-p^2+(1-p)^2=10-2p\).

Для невырожденной трапеции \(h>0\), следовательно, \(-3<p<3\). Значит, \(4<d^2<16\), то есть \(2<d<4\). Единственное целое число в этом промежутке — 3; оно достижимо, например, при \(p=\frac12\) и \(h=\sqrt{\frac{35}{4}}\).

Ответ: 3.