8. Отрезок АК- биссектриса Д АВС. Из точки К проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке М так, что АМ = МК. Докажите, что MK || AC

Доказательство:

Дано:

• АК — биссектриса \( \angle BAC \) в \( \triangle ABC \).
• М — точка на стороне АВ.
• АМ = МК.

Доказать: MK || AC

Доказательство:

1. Так как АК — биссектриса \( \angle BAC \), то \( \angle BAK = \angle KAC \) (по определению биссектрисы).
2. Рассмотрим \( \triangle AMK \). По условию АМ = МК, следовательно, \( \triangle AMK \) — равнобедренный.
3. В равнобедренном \( \triangle AMK \) углы при основании равны: \( \angle MAK = \angle MKA \).
4. Заметим, что \( \angle MAK \) и \( \angle BAK \) — это один и тот же угол.
5. Из равенства \( \angle BAK = \angle KAC \) (из п. 1) и \( \angle MAK = \angle MKA \) (из п. 3), и учитывая, что \( \angle MAK = \angle BAK \), получаем \( \angle KAC = \angle MKA \).
6. Рассмотрим прямые МК и АС и секущую АК. Углы \( \angle MKA \) и \( \angle KAC \) являются накрест лежащими углами при прямых МК, АС и секущей АК.
7. Поскольку накрест лежащие углы равны (\( \angle MKA = \angle KAC \)), то прямые МК и АС параллельны.

Что и требовалось доказать.