8) Параллельные прямые а и в пересечены двумя параллельными секущими АВ и СД, причем А и С принадлежат прямой а, В и Д – прямой в. Докажите, что АС=ВД.

Решение:

Дано:

Прямая а || прямая в.

Секущие АВ и СД.

А ∈ а, С ∈ а.

В ∈ в, Д ∈ в.

Доказать: АС = ВД.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники АВС и СВА.
2. АВ - общая сторона.
3. Угол BAC = Углу ABD (как накрест лежащие при параллельных прямых а и в и секущей АВ).
4. Угол ABC = Углу BCD (как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СД и секущей ВС).
5. Это не дает нам оснований для равенства треугольников.
6. Рассмотрим треугольники АСD и СВА.
7. Рассмотрим треугольники АВС и CDА.
8. Угол BAC = Углу ACD (как накрест лежащие при параллельных прямых а и в и секущей АС).
9. Угол BCA = Углу CAD (как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СД и секущей АС).
10. АС - общая сторона.
11. По второму признаку равенства треугольников (УСУ), треугольник АВС равен треугольнику CDA.
12. Следовательно, АВ = СD и ВС = АD.
13. Рассмотрим треугольники АСD и СВА.
14. Угол CAD = Угол ACB (накрест лежащие, АВ || CD, секущая АС).
15. Угол ACD = Угол CAB (накрест лежащие, а || в, секущая АС).
16. АС - общая сторона.
17. По второму признаку равенства треугольников (УСУ), треугольник ACD = треугольнику CAB.
18. Следовательно, AD = CB и CD = AB.
19. Рассмотрим треугольники АВС и DCB.
20. Угол ABC = Угол BCD (накрест лежащие, а || в, секущая СВ).
21. Угол ACB = Углу CBD (накрест лежащие, АВ || CD, секущая СВ).
22. СВ - общая сторона.
23. По второму признаку равенства треугольников (УСУ), треугольник АВС = треугольнику DCB.
24. Следовательно, АВ = DC и АС = DB.

Что и требовалось доказать.