Ответ:

В данных выражениях слово живот употреблено в старом значении «жизнь». Его антоним — смерть.

Живота не жалеть — не щадить своей жизни, быть готовым пожертвовать собой.

Живот положить — погибнуть, умереть, отдать жизнь.

Ответ: смерть; «живота не жалеть» — не щадить жизни; «живот положить» — погибнуть, умереть.