8. Поезд должен был проехать 64 км. Когда он проехал 24 км, то был задержан возле семафора на 12 мин. Тогда он увеличил скорость на 10км/ч и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите начальную скорость поезда.

Решение:

Обозначим начальную скорость поезда как \( v \) км/ч.

1. Расстояние, которое поезд должен был проехать: \( S = 64 \) км.
2. Плановое время в пути: \( T_{план} = \frac{S}{v} = \frac{64}{v} \) часов.
3. Поезд проехал до остановки: \( S_1 = 24 \) км.
4. Время, затраченное на первый участок пути: \( t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{24}{v} \) часов.
5. Задержка у семафора: 12 минут = \( \frac{12}{60} = 0.2 \) часа.
6. Оставшееся расстояние: \( S_2 = S - S_1 = 64 - 24 = 40 \) км.
7. Новая скорость после задержки: \( v_{new} = v + 10 \) км/ч.
8. Время, затраченное на второй участок пути с новой скоростью: \( t_2 = \frac{S_2}{v_{new}} = \frac{40}{v+10} \) часов.
9. Общее фактическое время в пути: \( T_{факт} = t_1 + 0.2 + t_2 = \frac{24}{v} + 0.2 + \frac{40}{v+10} \) часов.
10. Опоздание на 4 минуты означает, что фактическое время в пути на 4 минуты больше планового. 4 минуты = \( \frac{4}{60} = \frac{1}{15} \) часа.
11. Составим уравнение: \( T_{факт} = T_{план} + \frac{1}{15} \)
12. \( \frac{24}{v} + 0.2 + \frac{40}{v+10} = \frac{64}{v} + \frac{1}{15} \)
13. Перенесем члены с \( v \) в одну сторону: \( \frac{40}{v+10} + 0.2 = \frac{64}{v} - \frac{24}{v} + \frac{1}{15} \)
14. \( \frac{40}{v+10} + 0.2 = \frac{40}{v} + \frac{1}{15} \)
15. Приведем десятичную дробь к обыкновенной: \( 0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).
16. \( \frac{40}{v+10} + \frac{1}{5} = \frac{40}{v} + \frac{1}{15} \)
17. Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{40}{v+10} - \frac{40}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{5} \)
18. \( \frac{40v - 40(v+10)}{v(v+10)} = \frac{1 - 3}{15} \)
19. \( \frac{40v - 40v - 400}{v^2 + 10v} = \frac{-2}{15} \)
20. \( \frac{-400}{v^2 + 10v} = \frac{-2}{15} \)
21. Умножим обе части на -1: \( \frac{400}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15} \)
22. Крест-накрест: \( 400 \times 15 = 2(v^2 + 10v) \)
23. \( 6000 = 2v^2 + 20v \)
24. Разделим на 2: \( 3000 = v^2 + 10v \)
25. \( v^2 + 10v - 3000 = 0 \)
26. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-3000) = 100 + 12000 = 12100 \).
27. \( \sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110 \).
28. Найдем корни:
• \( v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50 \).
• \( v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \).
29. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: 50 км/ч.