Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
8. Постройте график функции y=2|x-3|-x²+7x-12 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Ответ:
Краткое пояснение:
Для решения построим график функции, состоящей из кусочно-линейной части (из-за модуля) и параболы. Затем найдем значения m, при которых горизонтальная линия y=m пересекает график в трех точках.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Преобразуем функцию.
Рассмотрим функцию \( y=2|x-3|-x^2+7x-12 \).
Раскроем модуль:- Если \( x ≥ 3 \), то \( |x-3| = x-3 \). Функция принимает вид: \( y = 2(x-3) - x^2 + 7x - 12 = 2x - 6 - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 9x - 18 \).
- Если \( x < 3 \), то \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \). Функция принимает вид: \( y = 2(3-x) - x^2 + 7x - 12 = 6 - 2x - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 5x - 6 \).
- Шаг 2: Строим график.
- Для \( x ≥ 3 \): \( y = -x^2 + 9x - 18 \). Это парабола ветвями вниз. Найдем вершину: \( x_в = -b/(2a) = -9/(2 · -1) = 4.5 \). \( y_в = -(4.5)^2 + 9(4.5) - 18 = -20.25 + 40.5 - 18 = 2.25 \). Вершина параболы в точке (4.5, 2.25). Также найдем значение функции в точке \( x=3 \): \( y = -(3)^2 + 9(3) - 18 = -9 + 27 - 18 = 0 \).
- Для \( x < 3 \): \( y = -x^2 + 5x - 6 \). Это парабола ветвями вниз. Найдем вершину: \( x_в = -b/(2a) = -5/(2 · -1) = 2.5 \). \( y_в = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 6 = -6.25 + 12.5 - 6 = 0.25 \). Вершина параболы в точке (2.5, 0.25). Также найдем значение функции в точке \( x=3 \): \( y = -(3)^2 + 5(3) - 6 = -9 + 15 - 6 = 0 \).
Соединяем полученные части графика.
- Шаг 3: Определяем значения m.
Прямая \( y=m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта линия пересекает график ровно в трех точках.- Если \( m = 2.25 \), то линия коснется вершины первой части параболы (1 точка) и пересечет вторую часть (1 точка) — всего 2 точки.
- Если \( m = 0.25 \), то линия коснется вершины второй части параболы (1 точка) и пересечет первую часть (1 точка) — всего 2 точки.
- Если \( m=0 \), линия пройдет через точку (3,0), пересекая обе части графика (2 точки).
- Для того чтобы получить три точки пересечения, линия \( y=m \) должна проходить через вершину одной из частей параболы и пересекать другую часть в двух точках.
- Рассмотрим случай, когда \( m=0.25 \). Эта линия пересечет первую часть графика \( y = -x^2 + 9x - 18 \) в двух точках, так как \( 0.25 < 2.25 \).
- Рассмотрим случай, когда \( m=2.25 \). Эта линия пересечет вторую часть графика \( y = -x^2 + 5x - 6 \) в двух точках, так как \( 2.25 > 0.25 \).
- Таким образом, для получения ровно трех точек пересечения, горизонтальная линия \( y=m \) должна проходить через вершину одной из ветвей параболы и пересекать другую ветвь в двух точках. Это возможно, когда \( m = 0.25 \) (вершина второй части) или \( m = 2.25 \) (вершина первой части).
Ответ: Прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки при m=0.25 и m=2.25.
