8. Постройте график функции y = x² − 6x + 1. Запишите все свойства данной функции.

Выделим полный квадрат: \(y=x^2-6x+1=(x-3)^2-8\). Значит, график — парабола с вершиной \((3;-8)\), ветви направлены вверх.

График:

Свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа.
2. Область значений: \([-8;+\infty)\), поскольку наименьшее значение функции равно \(-8\).
3. Вершина параболы: \((3;-8)\); ось симметрии: \(x=3\).
4. Ветви параболы направлены вверх; функция имеет минимум \(-8\) при \(x=3\), максимума нет.
5. Убывает на \((-\infty;3]\), возрастает на \([3;+\infty)\).
6. Нули функции получаются из уравнения \((x-3)^2-8=0\): \(x=3\pm2\sqrt2\).
7. Функция положительна при \(x<3-2\sqrt2\) и \(x>3+2\sqrt2\); отрицательна при \(3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2\).
8. Пересечение с осью \(Oy\): \((0;1)\). Пересечения с осью \(Ox\): \((3-2\sqrt2;0)\) и \((3+2\sqrt2;0)\).
9. Функция ни чётная, ни нечётная.