8. Постройте графики уравнений системы { 3x + y = 5, y - x^2 = 1 и найдите сумму ординат точек пересечения.

Задание 8. Система уравнений

Нам нужно построить графики двух уравнений и найти сумму ординат точек их пересечения.

1. Первое уравнение: \( 3x + y = 5 \)

Это уравнение прямой. Преобразуем его, чтобы выразить \( y \):

\[ y = 5 - 3x \]

Чтобы построить график, найдем две точки:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 5 - 3(0) = 5 \). Точка (0, 5).
• Если \( x = 1 \), то \( y = 5 - 3(1) = 2 \). Точка (1, 2).

2. Второе уравнение: \( y - x^2 = 1 \)

Это уравнение параболы. Преобразуем его, чтобы выразить \( y \):

\[ y = x^2 + 1 \]

Это парабола с вершиной в точке (0, 1), ветви направлены вверх.

3. Находим точки пересечения:

Приравниваем выражения для \( y \) из обоих уравнений:

\[ 5 - 3x = x^2 + 1 \]

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 3x + 1 - 5 = 0 \]\[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \]\[ \sqrt{D} = 5 \]\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2(1)} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждой точки пересечения, подставляя \( x \) в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать \( y = x^2 + 1 \):

• Для \( x_1 = 1 \): \( y_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \). Точка пересечения (1, 2).
• Для \( x_2 = -4 \): \( y_2 = (-4)^2 + 1 = 16 + 1 = 17 \). Точка пересечения (-4, 17).

4. Находим сумму ординат точек пересечения:

Ординаты — это значения \( y \). Нам нужно найти \( y_1 + y_2 \).

\[ y_1 + y_2 = 2 + 17 = 19 \]

Ответ: 19.