№ 8. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение:

Решение:

Используем правила степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( a^m : a^n = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

1. \( 2^{20} : (2^8)^2 = 2^{20} : 2^{8 \cdot 2} = 2^{20} : 2^{16} = 2^{20-16} = 2^4 = 16 \)
2. \( (11^5)^3 : (11^3)^5 = 11^{5 \cdot 3} : 11^{3 \cdot 5} = 11^{15} : 11^{15} = 11^{15-15} = 11^0 = 1 \)
3. \( 7^4 \cdot (7^2)^3 = 7^4 \cdot 7^{2 \cdot 3} = 7^4 \cdot 7^6 = 7^{4+6} = 7^{10} \)
4. \( 16^2 \cdot 8^5 = (2^4)^2 \cdot (2^3)^5 = 2^{4 \cdot 2} \cdot 2^{3 \cdot 5} = 2^8 \cdot 2^{15} = 2^{8+15} = 2^{23} \)
5. \( (10^7 \cdot (10^2)^3) : ((10^3)^4 \cdot 10^2) = (10^7 \cdot 10^{2 \cdot 3}) : (10^{3 \cdot 4} \cdot 10^2) = (10^7 \cdot 10^6) : (10^{12} \cdot 10^2) = 10^{7+6} : 10^{12+2} = 10^{13} : 10^{14} = 10^{13-14} = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1 \)
6. \( (9^4 \cdot 81)^2 : 3^{12} = (9^4 \cdot 9^2)^2 : 3^{12} = (9^{4+2})^2 : 3^{12} = (9^6)^2 : 3^{12} = 9^{6 \cdot 2} : 3^{12} = 9^{12} : 3^{12} = (9 : 3)^{12} = 3^{12} \)

Ответ: 1) \( 16 \); 2) \( 1 \); 3) \( 7^{10} \); 4) \( 2^{23} \); 5) \( 0.1 \); 6) \( 3^{12} \).