8. Преобразуйте в многочлен:

a) \((y-5b)(y+5b)\)

Это формула разности квадратов: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

\(y^2 - (5b)^2 = y^2 - 25b^2\)

б) \((2a+3)(3-2a)\)

Перепишем вторую скобку: \((2a+3)(-2a+3) = (3+2a)(3-2a)\)

Это формула разности квадратов: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(3^2 - (2a)^2 = 9 - 4a^2\)

в) \((x+7)^2\)

Это формула квадрата суммы: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\(x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49\)

г) \((a-2x)^2\)

Это формула квадрата разности: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 - 4ax + 4x^2\)

д) \((x-1)(x^2+x+1)\)

Это формула разности кубов: \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

\(x^3 - 1^3 = x^3 - 1\)

е) \((y+3)(y^2-3y+9)\)

Это формула суммы кубов: \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)

\(y^3 + 3^3 = y^3 + 27\)

ж) \((2a-b)(4a^2+2ab+b^2)\)

Это формула разности кубов: \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

Здесь \(a = 2a\) и \(b = b\). Проверим вторую скобку: \((2a)^2 + (2a)b + b^2 = 4a^2 + 2ab + b^2\).

Значит, выражение равно:

\((2a)^3 - b^3 = 8a^3 - b^3\)

з) \((m+5n)(m^2-5mn+25n^2)\)

Это формула суммы кубов: \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)

Здесь \(a = m\) и \(b = 5n\). Проверим вторую скобку: \(m^2 - m(5n) + (5n)^2 = m^2 - 5mn + 25n^2\).

Значит, выражение равно:

\(m^3 + (5n)^3 = m^3 + 125n^3\)

Ответ:

а) \(y^2 - 25b^2\)

б) \(9 - 4a^2\)

в) \(x^2 + 14x + 49\)

г) \(a^2 - 4ax + 4x^2\)

д) \(x^3 - 1\)

е) \(y^3 + 27\)

ж) \(8a^3 - b^3\)

з) \(m^3 + 125n^3\)