8)* Продолжи ряд: 4; 2,5; 4\(\frac{2}{3}\); 7,5; 5\(\frac{1}{3}\); 22,5; 6; 67,5; ...

Решение:

Данный ряд имеет сложную закономерность, где чередуются операции умножения и деления, с изменяющимися множителями и делителями.

Рассмотрим последовательность:

• 1. \( 4 \)
• 2. \( 2,5 \) = \( 4 : 1,6 \)
• 3. \( 4\frac{2}{3} \approx 4,67 \) = \( 2,5 \cdot 1,866... \)
• 4. \( 7,5 \) = \( 4\frac{2}{3} : \frac{14}{22,5} \approx 4,67 : 0,207... \)

Эта закономерность не является простой арифметической или геометрической прогрессией. Если предположить, что есть чередование операций и изменяющихся коэффициентов, то ряд может быть таким:

1. \( 4 \)
2. \( 4 \div 1,6 = 2,5 \)
3. \( 2,5 \times \frac{14}{7,5} = 2,5 \times 1,866... \approx 4,66... = 4\frac{2}{3} \)
4. \( 4\frac{2}{3} \div \frac{1}{3} = 4,66... \div 0,333... = 14 \) - здесь не совпадает с 7,5

Давайте попробуем найти другую закономерность. Преобразуем числа в десятичные дроби:

4; 2,5; 4,66...; 7,5; 5,33...; 22,5; 6; 67,5; ...

Примем, что это чередование двух последовательностей:

Первая последовательность (нечетные позиции): 4; 4\(\frac{2}{3}\); 5\(\frac{1}{3}\); 6; ...

Разность между членами: \( 4\frac{2}{3} - 4 = \frac{2}{3} \), \( 5\frac{1}{3} - 4\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \), \( 6 - 5\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

Это арифметическая прогрессия с разностью \( \frac{2}{3} \). Следующий член: \( 6 + \frac{2}{3} = 6\frac{2}{3} \).

Вторая последовательность (четные позиции): 2,5; 7,5; 22,5; 67,5; ...

Разность между членами: \( 7,5 - 2,5 = 5 \), \( 22,5 - 7,5 = 15 \), \( 67,5 - 22,5 = 45 \).

Эта последовательность не является арифметической. Рассмотрим отношение между членами:

\( 7,5 \div 2,5 = 3 \)

\( 22,5 \div 7,5 = 3 \)

\( 67,5 \div 22,5 = 3 \)

Это геометрическая прогрессия с множителем 3. Следующий член: \( 67,5 \times 3 = 202,5 \).

Таким образом, ряд продолжается так:

4; 2,5; 4\(\frac{2}{3}\); 7,5; 5\(\frac{1}{3}\); 22,5; 6; 67,5; 6\(\frac{2}{3}\); 202,5; ...

Ответ: 6\(\frac{2}{3}\), 202,5.