8. Прямая y = 18x + b - касательная к графику функции y = x^4 - 14x + 9. Найдите значение коэффициента b.

Для того чтобы прямая \( y = 18x + b \) была касательной к графику функции \( y = x^4 - 14x + 9 \), необходимо, чтобы в точке касания совпадали значения функции и её производной, а также чтобы значение производной касательной было равно 18.

1. Находим производную функции:

\( y' = (x^4 - 14x + 9)' = 4x^3 - 14 \)

2. Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной (18):

\( 4x^3 - 14 = 18 \)
\( 4x^3 = 18 + 14 \)
\( 4x^3 = 32 \)
\( x^3 = 32 / 4 \)
\( x^3 = 8 \)
\( x = \sqrt[3]{8} \)
\( x = 2 \)

3. Находим значение функции в точке касания (x=2):

\( y = 2^4 - 14 ' 2 + 9 \)
\( y = 16 - 28 + 9 \)
\( y = -12 + 9 \)
\( y = -3 \)

4. Находим значение коэффициента b, подставив координаты точки касания (2, -3) в уравнение прямой:

\( y = 18x + b \)
\( -3 = 18 ' 2 + b \)
\( -3 = 36 + b \)
\( b = -3 - 36 \)
\( b = -39 \)

Ответ: b = -39