8. Прямая y = x + 4 является касательной к графику функции y = x³ – x² + 5. Найди координату Х точки, в которой происходит касание.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по математике.

Что нам дано?

• Уравнение прямой: y = x + 4
• Уравнение функции: y = x³ – x² + 5

Что нужно найти?

• Координату x точки касания.

Как будем решать?

1. Условие касания: Прямая является касательной к графику функции, если в точке касания значения функций совпадают и их производные тоже совпадают.
2. Находим производные:
   • Производная прямой y = x + 4: y' = 1 (производная от x это 1, а от константы 4 это 0).
   • Производная функции y = x³ – x² + 5: y' = 3x² – 2x (по правилам дифференцирования степенных функций).
3. Приравниваем производные: Так как в точке касания производные равны, мы можем записать:1 = 3x² – 2x
4. Решаем квадратное уравнение: Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:3x² – 2x – 1 = 0
5. Используем формулу дискриминанта:D = b² - 4ac, где a = 3, b = -2, c = -1.
   • D = (-2)² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16
   • √D = √16 = 4
6. Находим корни уравнения:
   • x₁ = (-b + √D) / 2a = (2 + 4) / (2 * 3) = 6 / 6 = 1
   • x₂ = (-b - √D) / 2a = (2 - 4) / (2 * 3) = -2 / 6 = -1/3
7. Проверяем, какая из точек является точкой касания: Теперь нам нужно подставить найденные значения x в уравнения прямой и функции. Если значения y совпадут, то это и есть точка касания.
   • При x = 1:
     • Прямая: y = 1 + 4 = 5
     • Функция: y = 1³ – 1² + 5 = 1 – 1 + 5 = 5

     Значения y совпали! Значит, x = 1 — это координата точки касания.

   • При x = -1/3:
     • Прямая: y = -1/3 + 4 = 11/3
     • Функция: y = (-1/3)³ – (-1/3)² + 5 = -1/27 – 1/9 + 5 = -1/27 – 3/27 + 135/27 = 131/27

     Значения y не совпали, так что x = -1/3 не является точкой касания.

Ответ: 1