8. Пусть α, β и γ — углы треугольника. Верно ли, что всегда sin α + sin β > sin γ?

Так как α + β = π − γ, то

sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) = 2 cos(γ/2) cos((α − β)/2).

Поскольку |α − β| < α + β = π − γ, имеем cos((α − β)/2) > cos((π − γ)/2) = sin(γ/2). Поэтому

sin α + sin β > 2 cos(γ/2) sin(γ/2) = sin γ.

Ответ: да, неравенство верно для любого треугольника.