8. Решите графически уравнение \(\frac{6}{x} = x - 5\).

Решение:

Для решения уравнения \(\frac{6}{x} = x - 5\) графически, построим графики функций \( y = \frac{6}{x} \) (гипербола) и \( y = x - 5 \) (прямая).

График функции \( y = \frac{6}{x} \):

• Область определения: \( x \neq 0 \).
• Асимптоты: \( x = 0 \) (ось y) и \( y = 0 \) (ось x).
• Точки для построения: \((-6, -1), (-3, -2), (-2, -3), (-1, -6), (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)\).

График функции \( y = x - 5 \):

• Это прямая.
• Точки пересечения с осями:
• При \( x = 0 \): \( y = -5 \) (точка (0, -5)).
• При \( y = 0 \): \( x = 5 \) (точка (5, 0)).
• Ещё одна точка: при \( x = 6 \), \( y = 1 \) (точка (6, 1)).

Решение:

Графики функций \( y = \frac{6}{x} \) и \( y = x - 5 \) пересекаются в точках, которые являются решениями уравнения. Построив графики, видно, что они пересекаются в точках с координатами \( (-2, -3) \) и \( (3, 2) \).

Проверим:

• При \( x = -2 \): \(\frac{6}{-2} = -3\) и \(-2 - 5 = -7\). Не совпадает. Ошибка в определении точки пересечения по графику.
• Исправляем: Ищем точки, где \(\frac{6}{x} = x - 5\).
• Умножим на \(x\): \(6 = x^2 - 5x\) (при \(x \neq 0\)).
• Перенесем все в одну сторону: \(x^2 - 5x - 6 = 0\).
• Решим квадратное уравнение: \(D = (-5)^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49\).
• \(x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6\).
• \(x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1\).
• Найдем соответствующие значения \(y\):
• При \( x = 6 \): \(y = 6 - 5 = 1\). Проверка: \(\frac{6}{6} = 1\). Точка (6, 1).
• При \( x = -1 \): \(y = -1 - 5 = -6\). Проверка: \(\frac{6}{-1} = -6\). Точка (-1, -6).

Графики пересекаются в точках \( (-1, -6) \) и \( (6, 1) \).

Ответ: x = -1, x = 6.