8. Решите систему уравнений \( \begin{cases} x + y - z = 2 \\ x + 2y + z = -1 \\ x - y - 2z = 2 \end{cases} \)

Решение:

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 1 & 2 & 1 & | & -1 \\ 1 & -1 & -2 & | & 2 \end{pmatrix} \]

Выполним следующие элементарные преобразования строк:

1. \( R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \)

2. \( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \)

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | & -3 \\ 0 & -2 & -1 & | & 0 \end{pmatrix} \]

3. \( R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 \)

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | & -3 \\ 0 & 0 & 3 & | & -6 \end{pmatrix} \]

Теперь перейдем к обратному ходу: \( 3z = -6 \) \( \implies \) \( z = -2 \).

Из второй строки: \( y + 2z = -3 \) \( \implies \) \( y + 2(-2) = -3 \) \( \implies \) \( y - 4 = -3 \) \( \implies \) \( y = 1 \).

Из первой строки: \( x + y - z = 2 \) \( \implies \) \( x + 1 - (-2) = 2 \) \( \implies \) \( x + 1 + 2 = 2 \) \( \implies \) \( x + 3 = 2 \) \( \implies \) \( x = -1 \).

Ответ: x = -1, y = 1, z = -2.