8. Решите уравнение 4х² – 20x + 25 = (3x+1)².

Решение:

Сначала раскроем квадрат двучлена в правой части уравнения:

\[ (3x+1)^2 = (3x)^2 + 2 x 3x x 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1 \]

Теперь перепишем исходное уравнение с раскрытой скобкой:

\[ 4x^2 - 20x + 25 = 9x^2 + 6x + 1 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0:

\[ 0 = 9x^2 - 4x^2 + 6x + 20x + 1 - 25 \]

\[ 0 = 5x^2 + 26x - 24 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение: 5x² + 26x - 24 = 0.

Найдем дискриминант (D) по формуле D = b² - 4ac:

• a = 5
• b = 26
• c = -24

\[ D = 26^2 - 4 x 5 x (-24) \]

\[ D = 676 + 480 \]

\[ D = 1156 \]

Найдем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34 \]

Теперь найдем корни уравнения (x₁, x₂) по формуле x = (-b ± √D) / 2a:

\[ x_1 = \frac{-26 + 34}{2 x 5} = \frac{8}{10} = 0.8 \]

\[ x_2 = \frac{-26 - 34}{2 x 5} = \frac{-60}{10} = -6 \]

Ответ: x₁ = 0.8, x₂ = -6