8) Решите уравнение: $\dfrac{\cos^4 x+\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+2x\right)-\sin^2 x}{2\cos^2\left(-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{4}\right)-5\sin\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{\pi}{8}\right)-2}=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8) Решите уравнение: \(\dfrac{\cos^4 x+\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+2x\right)-\sin^2…$ Фото задания

Accepted Answer

Числитель равен нулю, а знаменатель — не равен нулю.

Используем тождества: $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+2x\right)=-\cos 2x$, $\cos^4x-\sin^2x=\dfrac{\cos 2x+\cos 4x}{4}$. Тогда числитель:

\[\cos^4x-\cos2x-\sin^2x=\cos^4x-\sin^2x-\cos2x=\frac{\cos2x+\cos4x}{4}-\cos2x=\frac{\cos4x-3\cos2x}{4}.\]

Следовательно, $\cos4x-3\cos2x=0$. Обозначим $t=\cos2x$. Так как $\cos4x=2t^2-1$, получаем:

\[2t^2-1-3t=0,\qquad 2t^2-3t-1=0.\]

Корни: $t=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{4}$. Значение $\dfrac{3+\sqrt{17}}4>1$ невозможно, поэтому $\cos2x=\dfrac{3-\sqrt{17}}4$.

На отрезке $[\pi;4\pi]$:

\[2x=\pm\arccos\left(\frac{3-\sqrt{17}}4\right)+2\pi k,\]

\[x=\pi k\pm\frac12\arccos\left(\frac{3-\sqrt{17}}4\right).\]

Проверка знаменателя: при найденных значениях он не обращается в ноль.

Ответ: $x=\pi k\pm\dfrac12\arccos\left(\dfrac{3-\sqrt{17}}4\right)$, где выбираются значения, принадлежащие отрезку $[\pi;4\pi]$.

8) Решите уравнение: \(\dfrac{\cos^4 x+\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+2x\right)-\sin^2 x}{2\cos^2\left(-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{4}\right)-5\sin\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{\pi}{8}\right)-2}=0\).