8. Решите уравнение $$ \frac{2}{3x+1} - \frac{x}{1-3x} = \frac{2x}{9x^2-1} $$

Решение:

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $$9x^2 - 1 = (3x-1)(3x+1)$$ и $$1-3x = -(3x-1)$$.
   \[ \frac{2}{3x+1} - \frac{x}{-(3x-1)} = \frac{2x}{(3x-1)(3x+1)} \]
   \[ \frac{2}{3x+1} + \frac{x}{3x-1} = \frac{2x}{(3x-1)(3x+1)} \]
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $$(3x-1)(3x+1)$$, предварительно найдя ОДЗ: $$x
   eq \frac{1}{3}$$ и $$x
   eq -\frac{1}{3}$$.
   \[ 2(3x-1) + x(3x+1) = 2x \]
3. Раскроем скобки:
   \[ 6x - 2 + 3x^2 + x = 2x \]
4. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
   \[ 3x^2 + 7x - 2 = 2x \]
   \[ 3x^2 + 5x - 2 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49 \]
6. Найдем корни $$x$$:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]
7. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $$x_1 = \frac{1}{3}$$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.

Ответ: $$-2$$